Analiza Matematica: Limite de siruri

Postat în Analiză Matematică , pe data 11 February 2009

DEFINITIA LIMITEI UNUI SIR : Un numar real $\mathit{l}$ este limita unui sir $({x_n})$ ( sirul converge la $\mathit{l}$ ) daca orice vecinatate a lui $\mathit{l}$ contine toti termenii sirului, exceptand (eventual) un numar finit de termeni, sau, echivalent: in afara oricarei vecinatati a lui $\mathit{l}$ se afla (cel mult) un numar finit de termeni ai sirului.

TEOREMA DE CONVERGENTA CU $\epsilon$ : Sirul $({x_n})$ este convergent la $\mathit{l}$ daca si numai daca $\forall\epsilon>0$ , $\exists{n}_{\epsilon}\in{N}$ , astfel incat pentru $\forall{n}\geq{n}_{\epsilon}$ , sa avem $|{x}_{n} - \mathit{l}|< \epsilon$ .
CRITERIUL MAJORARII : Daca ${|{x_n}-x|}\leq{y_n}\rightarrow{0}, {atunci}\, {x_n}\rightarrow{x}$ .
TEOREMA CLESTELUI : Daca ${x_n}\leq{y_n}\leq{z_n}{ si} \lim{x}_{n}=\lim{z}_{n}=\ell, {atunci}\, {y}_{n}\rightarrow\ell$ .
TEOREMA LUI WEIERSTRASS: Orice sir monoton si marginit este convergent.
SIRUL NUMARULUI e : $\lim{({1 + \frac{1}{n}})^{n}}=e$ . VARIANTE : 1) $\lim{{(1 + \frac{1}{{x_n}})}^{{x_n}}}=e, {daca}\,{x_n}\rightarrow{\pm\infty}$ ; 2) $\lim{(1+{x_n})}^{\frac{1}{{x}_{n}}}= e,{ daca}\,{x_n}\rightarrow{0}$ .
$\lim(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... +\frac{1}{n!}) = e$ .
$\lim(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{n}) = \infty$ .
$\lim{q^n} =\begin{cases}{1}, q=1\\{\infty}, q >1\\{0}, - 1< q < 1\\\not\exists, q\leq{-1}\end{cases}$ .
LEMA STOLZ-CESARO: Fie sirurile $({x_n}),{ si}\, ({y_n})$ , primul arbitrar, iar al doilea strict crescator si nemarginit, ${y_n}\not = 0,\forall{n}\in{N}$ , astfel incat $\exists\ell = \lim\frac{{x}_{n+1} - {x}_{n}}{{y}_{n+1}-{y}_{n}}$ , atunci $\lim\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}} = \lim\frac{\quad{x}_{n+1} - {x}_{n}}{\quad{y}_{n+1}-{y}_{n}} = \ell$ .
CONSTANTA LUI EULER : $\lim{(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{n}-\ln{(n + 1)})}$ = $\lim{(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{n}-\ln{n})}=c$ ; (c = 0,5772156649…, numar irational, numit constanta lui Euler ).
CRITERIUL CAUCHY-d’ALEMBERT (criteriul raportului : Fie sirul $({x}_{n}), {cu} {x_n}>0, \forall{n}\in{N}^{*}$ , astfel incat $\exists\lim\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=\ell$ , atunci $\lim\sqrt[n]{x}_{n}=\lim\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=\ell$ .
$\lim\sqrt[n]{n} =1$ .
RECURENTA LINIARA DE ORDINUL AL DOILEA : Orice sir $({x}_{n}), n\in{N}^{*}$ , definit astfel: ${x}_{n+2} = {a}\cdot{x}_{n+1} +{b}\cdot{x}_{n}$ , cu ${{x}_{1}, {x}_{2}}\in{R}$ fixati, iar a si b numere reale date. Ecuatia ${{r^2}-ar-b=0}$ se numeste ecuatia caracteristica asociata recurentei. Se disting urmatoarele cazuri: a) $\Delta>0$ , cand ecuatia caracteristica are radacinile reale si distincte ${r}_{1}\,{ si}\, {r}_{2}$ .Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma ${x}_{n} = {c}\cdot{{r}_{1}}^{n}+{d}\cdot{{r}_{2}}^{n}$ , unde constantele c si d se obtin rezolvand sistemul $\begin{cases}c\cdot{{r}_{1}}^{1}+d\cdot{{r}_{2}}^{1}={x}_{1}\\c\cdot{{r}_{1}}^{2}+d\cdot{{r}_{2}}^{2}={x}_{2}\end{cases}$ (sistem cu necunoscutele c si d); b) $\Delta=0$ , cand ecuatia caracteristica are radacinile reale si egale si anume: ${r}_{1} = {r}_{2} = r$ . Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma ${x}_{n} = (c + nd)\cdot{r}^{n}$ , unde constantele c si d se afla ca la cazul anterior; c) $\Delta<0$ , cand ecuatia caracteristica are radacinile complexe nereale si conjugate ${r}_{1,2} = \rho\cdot(\cos{t}\pm{i}\sin{t})$ . Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma ${x}_{n} = c\cdot{Im}({{r}_{1}}^{n})+d\cdot{Re}({{r}_{2}}^{n}$ ), unde ${Im}({{r}_{1}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\sin{nt}\,{ si}\,{ Re}({{r}_{2}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\cos{nt}$ .